基本不等式課件

古人云，工欲善其事，必先利其器。在每學期開學之前，幼兒園的老師們都要為自己之后的教學做準備。為了防止學生抓不住重點，教案就顯得非常重要，有了教案上課才能夠為同學講更多的，更全面的知識。所以你在寫幼兒園教案時要注意些什么呢？以下內容是小編特地整理的“基本不等式課件”，在此提醒你收藏本頁，以方便閱讀！

基本不等式課件 篇1

【學習目標】

1．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

【能力培養(yǎng)】

培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；及其在求最值時初步應用

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

一、課題導入

基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，教師引導學生從面積的關系去找不等關系。

二、講授新課

1．問題探究——探究圖形中的不等關系。

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有 。

2.總結結論：一般的，如果

（結論的得出盡量發(fā)揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

3．思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

4．特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

通常我們把上式寫作：

①從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：（略）

②理解基本不等式 的幾何意義

探究：對課本第98頁的“探究”（ 幾何證明）

注:在數(shù)學中，我們稱 為a、b的算術平均數(shù)，稱 為a、b的幾何平均數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

5、例：當時，取什么值，的值最小？最小值是多少？

6、課時小結

本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術平均數(shù)（ ），幾何平均數(shù)（ ）及它們的關系（ ≥ ）。它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)。它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將進一步學習它們的應用)。

7、作業(yè)：

課本第100頁習題[a]組的第1、2題

板書 設 計

課題: 3.4基本不等式

一、兩個不等式

二、例題及練習

基本不等式課件 篇2

基本不等式是初中數(shù)學中重要的一個知識點。通過學習基本不等式，可以幫助學生更深入地理解不等式的性質，掌握不等式的解法和應用技巧，以及提高數(shù)學分析和推理能力。下面就從不等式的定義、基本不等式的證明、基本不等式的應用等方面來詳細介紹基本不等式。

一、不等式的定義

不等式是數(shù)學中的一種基本概念，用來表示兩個數(shù)之間的大小關系。比如，如果a>b，則可以表示為a-b>0；如果a≥b，則可以表示為a-b≥0。在不等式中，我們常用符號“>”、“≥”、“

二、基本不等式的證明

基本不等式是指若a、b為正實數(shù)，那么(a+b)2/4≥ab。這個不等式在解決很多數(shù)學問題時都有非常重要的作用，因此我們需要掌握基本不等式的證明方法。

證明方法1：

（a+b）2/4=(a2+2ab+b2)/4= [(a+b)2-2ab]/4

由于a、b為正實數(shù)，所以(a+b)2和2ab一定是正實數(shù)。

因此，(a+b)2-2ab≥0，即(a+b)2/4≥ab。

證畢。

證明方法2：

由于a、b為正實數(shù)，所以(a-b)2≥0。根據(jù)這個不等式，我們可以推導出：

a2+b2≥2ab

(a2+b2)/2≥ab

(a2+2ab+b2)/4≥ab

(a+b)2/4≥ab

證畢。

證明方法3：

設Δ=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0

那么，a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab

(a2+b2)/2≥ab，即(a+b)2/4≥ab

證畢。

通過上述三種證明方法，我們可以看到，基本不等式的證明方法可以有多種，但本質上是一樣的。

三、基本不等式的應用

1.求解最優(yōu)解

在某些問題中，需要求解若干變量的最大值或最小值，例如某個產(chǎn)品的利潤最大化問題、最短路徑問題等，這時我們可以將問題轉化為一個不等式問題，然后運用基本不等式來簡化求解過程。

2.推導其他不等式

基本不等式可以作為其他不等式的推導依據(jù)。例如，在求證某個不等式時，我們可以使用基本不等式將其轉化為更簡單的形式，從而更容易得到證明。

3.證明集合的包含關系

當我們需要證明兩個集合的包含關系時，可以通過基本不等式來構造出一些包含于其中一個集合但不包含于另一個集合的數(shù)列，這樣就容易得出它們之間的包含關系。

總之，基本不等式在數(shù)學中有著非常重要的作用，深入了解和掌握基本不等式，不僅可以提高數(shù)學思維能力，也可以幫助我們更好地理解和應用各種數(shù)學知識。

基本不等式課件 篇3

基本不等式是中學數(shù)學中的重要內容，它們可以作用于多種數(shù)學領域，包括代數(shù)、幾何、概率等等。這種不等式是一個基本性質，它提供了一種有效地組織和比較數(shù)字和數(shù)學表達式的方式。本文將探討基本不等式，并解釋其重要性和應用范圍。

基本不等式是指一個簡單的數(shù)學規(guī)律，即對于任何正實數(shù)a和b，有如下關系式：

(a + b)2 ≥ 4ab

當a和b相等時等式被取得，此時有a = b = (a + b) / 2。

這個不等式看上去非常簡單，但它有它的特殊地位和應用。它是所有不等式中最基本也是最重要的，它可以應用到各種自然科學和社會科學領域中。例如，基本不等式可以用于優(yōu)化無線網(wǎng)絡傳輸速度和縮短計算機作業(yè)響應時間，還可以在物理和金融領域中被用來研究變化率和波動性等特征。

作為一個系統(tǒng)的理論工具，基本不等式的價值和應用遠不止于此。尤其是它的推廣版Sylvester不等式，將基本不等式引向了更復雜多樣的領域。Sylvester不等式是基本不等式在矩陣學科中的一個推廣。它是一個矩陣不等式，描述了不同形式的矩陣之間的比較規(guī)律。從線性代數(shù)、概率、統(tǒng)計以及其他領域中的應用可以看出，矩陣不等式在各種學科中都有越來越廣泛的應用。

基本不等式是解決一些數(shù)學難題的一個強大工具，在應用中經(jīng)常運用到。因此，學生無論是在數(shù)學課堂中還是考試中，都應該掌握這個基本數(shù)學概念，并了解它的應用。通過培養(yǎng)學生使用基本不等式和它的推廣Sylvester不等式的能力，可以幫助他們更好地掌握高等數(shù)學中更復雜的概念和算法。

因此，掌握和理解基本不等式以及它的推廣Sylvester不等式對數(shù)學學習者來說非常重要。通過對基本不等式的學習和掌握，可以幫助學生完成更復雜的數(shù)學問題，進一步培養(yǎng)他們在數(shù)學領域的創(chuàng)造性和解決問題的能力。

基本不等式課件 篇4

基本不等式是初中數(shù)學中的一個重要內容，也被稱為柯西-施瓦茨不等式。它的意義不僅限于初中數(shù)學，在高中數(shù)學、大學數(shù)學等領域都有廣泛的應用。基本不等式是數(shù)學中非?；A的概念，我們可以通過以下的主題范文來深入了解。

主題一：基本不等式的概念及其應用

基本不等式是初中數(shù)學中的基礎概念，它是數(shù)學不等式中的重要內容。它起源于柯西-施瓦茨不等式，可以用于證明不等式以及優(yōu)化問題?；静坏仁降谋举|是數(shù)學中的向量內積，具有非常廣泛的應用，比如在概率論、統(tǒng)計學、矩陣論、函數(shù)論、微積分等方面都有應用。

主題二：基本不等式的證明方法

基本不等式的證明方法主要有兩種。一種是基于二次函數(shù)的方法，另一種是基于向量內積的方法。無論采用哪種方法，都需要通過簡單的代數(shù)變化、平方等方法，將式子變形成為已知的不等式形式。利用這種方法，我們就可以推出基本不等式，從而應用到不等式證明等問題中。

主題三：基本不等式在函數(shù)極值問題中的應用

基本不等式在函數(shù)極值問題中也有廣泛的應用。函數(shù)的極值可以通過求導數(shù)和函數(shù)值來求解，而基本不等式可以在求解函數(shù)極值過程中起到優(yōu)化作用。通過基本不等式，可以很好地規(guī)避一些數(shù)學中的陷阱，從而獲得更精確的結果。因此，基本不等式在函數(shù)極值問題中的應用是非常重要的。

主題四：基本不等式在概率論和統(tǒng)計學中的應用

基本不等式在概率論和統(tǒng)計學中也有廣泛的應用。概率論中的卡方分布、t分布等都是基于基本不等式的優(yōu)化結果。在統(tǒng)計學的研究中，基本不等式可以用于特征值的計算、回歸分析等方面。因此，基本不等式在概率論和統(tǒng)計學中的應用也是非常重要的。

主題五：用基本不等式解決數(shù)學中的“熱點”問題

基本不等式是數(shù)學中的熱點問題之一，因為它在解決很多復雜的數(shù)學問題中都起到了重要作用。比如，在組合數(shù)學中，基本不等式用于計算多重組合數(shù)。在三角函數(shù)中，基本不等式用于計算三角函數(shù)的冪的和。在數(shù)值分析中，基本不等式用于優(yōu)化函數(shù)逼近等方面。因此，我們可以用基本不等式解決數(shù)學中的一些“熱點”問題，從而獲得更深入的數(shù)學技巧。

總的來說，基本不等式是數(shù)學中一個非常重要的內容，它可以用于解決不等式證明、函數(shù)極值、概率論和統(tǒng)計學等領域的問題。同時，基本不等式也是數(shù)學中的“熱點”問題之一，它為我們提供了更深入的數(shù)學技巧和思維方式。掌握基本不等式不僅可以提高數(shù)學水平，而且可以在其他領域帶來更多的收獲。

基本不等式課件 篇5

一、基本不等式的簡介

基本不等式是初中數(shù)學中的一項重要內容，是不等式的基礎。它可以幫助我們在學習不等式的過程中更加輕松的理解和掌握其他不等式的相關知識。它的基本形式是：

對于任意實數(shù)a1, a2, …, an，有

(a1^2 + a2^2 + … + an^2)×n ≥ (a1 + a2+ … + an)^2

二、基本不等式的證明

基本不等式的證明有多種方法，下面將以幾何證明法和數(shù)學歸納法為例進行講解。

幾何證明法：

首先，我們根據(jù)勾股定理和三角形面積公式有：

a1^2=（a1 cos B1）^2+（a1 sin B1）^2

a2^2=（a2 cos B2）^2+（a2 sin B2）^2

……

an^2=（an cos Bn）^2+（an sin Bn）^2

因為正余弦函數(shù)在第一象限內單調遞增，所以有：

sinB1

sinB2

……

sinBn

把以上不等式累加起來并乘以n，則有：

n(a1^2+a2^2+…+an^2)>=〖(a1cosB1+a2cosB2+…+an cosBn)〗^2+n(a1^2sin^2 B1+…..+an^2sin^2 Bn)

顯然，n(a1^2sin^2B1+….+an^2sin^2Bn)=n(a1sinB1+…+ansinBn)^2

因此，原不等式即證。

數(shù)學歸納法：

當n = 2時，有

a^2 + b^2 >= 2ab

(a - b)^2 >= 0

顯然成立。

假設n = k - 1時原不等式成立，即

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2

當n = k時，原不等式變?yōu)椋?/p>

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2 + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak-1 + ak)^2

因為(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2

又因為(a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= ak^2

因此有：

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) + (a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2 + ak^2

即

(a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak)^2

因此，當n = k時，原不等式也成立。

綜合上述兩種證明方法，我們可知，基本不等式是正確的。

三、應用基本不等式需要注意的問題

1. 基本不等式只適用于a1, a2, …, an均為實數(shù)的情形，不適用于其中有虛數(shù)的情形。

2. 如果不等式兩側都除以n的話，可以得到一個均值不等式：

(a1 + a2 + … + an) / n >= √(a1^2 + a2^2 + … + an^2)

這就是均值不等式的形式。

3. 基本不等式是一個有力的數(shù)學工具，它可以用于解決許多數(shù)學問題。 但在應用時，我們需要注意題目的條件，判斷是否可以應用，以免掉進錯誤的陷阱。

四、結語

綜上所述，基本不等式在初中數(shù)學中是一項基礎性的內容，它的正確性是數(shù)學歸納法和幾何證明法所證明的。應用時需要注意題目的條件，判斷是否可以應用。相信通過學習和掌握基本不等式，我們可以更加輕松的掌握其他不等式的相關知識。

基本不等式課件 篇6

教學目的

掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。

教學過程

師：我們已學過等式，不等式，現(xiàn)在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。

第二組：-7 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。

生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等關系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數(shù)學熾，我們用等號“=”來表示相等關系，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關系，其中“＞”和“＜”表示大小關系。表示大小關系的不等式是我們中學教學所要研究的。

前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？

生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式。

師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。

練習1 (回答)用小于號“”填空。

（1）7 ___ 4;

（2）- 2____6;

（3）- 3_____ -2；

（4）- 4_____-6

練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發(fā)，進行下面的運算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！

師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發(fā)生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數(shù)的情況下，不等號的方向要改變。

師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。

練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地說，不等式的基本性質有三條：

性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向 。

（讓同學回答。）

性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向 。（讓同學回答。）

性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向 。（讓同學回答。）

現(xiàn)在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質。

不等式的這三條基本性質，都可以用數(shù)學語言表達出來，先請一位同學說一說第一條基本性質。

生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？

生：沒有什么要求。

師：哪位同學來回答第二、三條性質？

生甲：如果a0， 那么acb，且c>0，那么ac>bc(或

生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且cb，且c>0，那么ac>bd;(2)如果a>b，那么ac2>bc2;(3)如果ac2>bc2，那么a>b;(4)如果a>b，那么a-b>0;(5)如果ax>b，且a≠0，那么xa;生甲：（1）不對，當c=d≤0時，ac＞bd不成立。生乙：（2）也不對，因為c2是一個非負數(shù)，當c=0時，ac2＞bc2不成立。生丙：（3）對，因為ac2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據(jù)不等式基本性質2，得a＞b出。（4）對，根據(jù)不等式基本性質，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。（5）不對，當a＜0時，根據(jù)不等式基本性質3，得。（6）不對，因為當b＜0時，根據(jù)不等式基本性質1，得a+b＜a；而當b=0時，則有a+b=a。師：同學們回答得很好。今天我們學習了不等式的基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用。課外做以下作業(yè)：略。教案說明（1） 不等式的基本性質的教學，是分成兩個階段進行的。在初中階段，對不等式的基本性質，并不作證明，只引導學生用試驗的方法，歸納出三條基本性質。通過試驗，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認識事物規(guī)律的重要方法?？茖W上的許多發(fā)現(xiàn)，大多離不開試驗和觀察。大數(shù)學家歐拉說過：“數(shù)學這門科學，需要觀察，也需要試驗?！蓖ㄟ^教學培養(yǎng)學生掌握由試驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，具有重要的意義。當然通過幾個特殊的試驗，就得出一般的結論，是不嚴密的。但對初中學生來說，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴密的。（2） 不等式的基本性質的教學，還應采用對比的方法。學生已學過等式和等式的性質，為了便于和加深對不等式基本性質的理解，在教學過程中，應將不等式的性質與等式的性質加以比較：強調等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式，這個數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個數(shù)，當這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)或零時，對不等式的方向，有什么不同的影響。通過這樣的對比，不但可以復習已學過的等式有關知識，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質。對比的方法，也是學習數(shù)學的一種重要方法。（3） 在應用不等式的基本性質對不等式進行變形時，學生對不等式兩邊是具體數(shù)，判定大小關系比較容易。因為這實際上是有理數(shù)大小的比較。對于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時，根據(jù)題給的條件，運用不等式基本性質判別大小關系或不等號方向，就比較困難。因為它比較抽象，特別是在運用不等式的基本性質2和性質3時，學生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數(shù)的符號是什么，或者還要對這個用字母表示的數(shù)，按正數(shù)、負數(shù)或零三種情況加以討論。在教學過程中，對于這類題目，采用討論法是比較好的。因為在討論時，學生可以充分發(fā)表各種見解。對于正確的見解，教師可以讓學生說出解題的依據(jù)；對于錯誤的見解，教師可以進行啟發(fā)引導，發(fā)動學生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發(fā)現(xiàn)問題，有的放矢地解決問題，有利于深化對不等式基本性質的認識。

基本不等式課件 篇7

基本不等式教學設計

數(shù)學與應用數(shù)學 鐘林

課題：人教A版必修5第3章4節(jié)，基本不等式

【教學目標】

1.通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結合的思想。

2.進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力。 3.結合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結合的思想。

4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生

a?b領會運用基本不等式ab?的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最

2值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

【重點難點】

重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。

2難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教學設計】

（一）問題導入

欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽，會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構成的嗎？請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關系。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關系和不等關系嗎？ 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形．設直角三角形兩條直角邊長為，a,b。

22a?b那么正方形的邊長為。

于是，4個直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形EFGH縮為一個點，這時 a2?b2?2ab

所以a2?b2?2ab。

探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關系。

a?b因為EF是中位線，所以EF?，

2由相似，可以得出GH?ab， 同樣因為相似，有

AGABa， ??GDGHb又因為a?b，所以AG?GD，即AG?AE，

a?b。 2顯然，當AB逐漸趨近CD的時候，GH也逐漸向EF靠近， 當AB=CD的時候，即ABCD是矩形的時候，GH與EF重合。

a?b即，當且僅當a?b時，ab?。

2a?b所以，ab?，當且僅當a?b時，等號成立。

2所以GH?EF,即ab?

（二）概念深入

根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立） 2請同學們運用代數(shù)法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22

當且僅當a=b時，等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。

作法二（分析法）：

要證明a?b?ab， 2只需證明a?b?2ab， 即證a?b-2ab?0， 即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當a?b時取等號。

于是有這樣的結論：

稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術平均數(shù)， 2a?b又可敘述為： 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)

作法三（幾何法）：

如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b．過點C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時，即a=b時，ab?

2故再次證明：

a?ba?0,b?0,ab?，當且僅當a=b時，等號成立。

2a?b也說明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角邊CD

（三）例題講解

例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉化）

對于x,y?R?，

（1）若xy?p（定值），則當且僅當x?y時，x?y有最小值2p；

s2（2）若x?y?s（定值），則當且僅當x?y時，xy有最大值。

4（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。）

1例2.求y?x?(x?0)的值域。

x1變式1.若x?2，求x?的最小值．

x?21在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)

x圖象，使學生再次感受數(shù)形結合的數(shù)學思想。

a?b并通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式ab?的三個限制

2條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

（四）歸納小結&課后作業(yè) 基本不等式：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立） 2（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結合思想）； （2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。

作業(yè)：A組第4題，B組第1題，第2題

若a,b?R?，則ab?

基本不等式課件 篇8

基本不等式課件

基本不等式是初中數(shù)學中的重要知識點之一，在學習這個知識點之前，我們先來了解下基本不等式的定義和公式：

定義：若a1，a2，...，an是n個非負實數(shù)，則有

(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。

公式：(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。

這個公式的意義是，當n個數(shù)的平均值不小于這n個數(shù)的相乘積的n次方根時，我們就稱這個不等式為基本不等式。

基本不等式的意義很重要，它是一種實用的數(shù)學工具，能夠結合實際問題進行運用。在統(tǒng)計學中，我們經(jīng)常需要對數(shù)據(jù)進行分析，計算某一組數(shù)的平均值?；静坏仁礁嬖V我們，對于一組非負實數(shù)，它們的平均值一定不小于它們的幾何平均數(shù)。

下面我們來看一個簡單的實例：

假設有兩組數(shù)，分別為2,3,4和1,2,8，現(xiàn)在我們需要比較這兩組數(shù)哪一組平均值較大。

我們可用基本不等式進行求解：

對于2,3,4，有（2+3+4）/3=3，（2×3×4）的1/3次方≈2.83，所以有3≥2.83。

對于1,2,8，有（1+2+8）/3=3.67，（1×2×8）的1/3次方≈2.19，所以有3.67≥2.19。

通過比較，我們可以發(fā)現(xiàn)，第一組數(shù)的平均值是小于第二組數(shù)的平均值的。

基本不等式雖然簡單，但是在實際應用中有著廣泛的應用。例如在金融學、經(jīng)濟學、醫(yī)學等領域中，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，計算平均值?；静坏仁侥軌驇椭覀冞M行更加精確的計算，從而提高研究的準確性和可靠性。

在數(shù)學競賽中，基本不等式也是一道基礎題，掌握好它的原理和應用方法，就能夠輕松應對數(shù)學競賽中的各種不等式題，提升自己的數(shù)學能力。

綜上所述，基本不等式是一項非常實用的數(shù)學工具，它能夠幫助我們進行數(shù)據(jù)分析和計算，提高研究的準確性和可靠性。在數(shù)學的應用和研究中，掌握好基本不等式的原理和應用方法非常重要。

基本不等式課件 篇9

課題：3.4.3　基本不等式 的應用(二) 科目：數(shù)學 教學對象：高二(290)學生 課時：1課時 提供者：劉和安 單位： 姚安一中 一、教學內容分析 本節(jié)課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的復習、應用，進而構建他們更完善的知識網(wǎng)絡。數(shù)學建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學教學的一項長期而艱苦的任務，這一點，在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實。?

根據(jù)本節(jié)課的教學內容，應用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，對基本不等式展開實際應用，進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助。? 二、教學目標 (一)知識目標：構建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題；

(二)能力目標：讓學生探究用基本不等式解決實際問題

(三)情感、態(tài)度和價值觀目標：

通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象，使學生感受數(shù) 學、走進數(shù)學、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣；? 三、學習者特征分析 在本節(jié)課的教學過程中，仍應強調不等式的現(xiàn)實背景和實際應用，真正地把不等式作為刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的工具。通過實際問題的分析解決，讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值，同時，也讓學生去感受數(shù)學的應用價值，從而激發(fā)學生去熱愛數(shù)學、研究數(shù)學。而不是覺得數(shù)學只是一門枯燥無味的推理學科。在解決實際問題的過程中，既要求學生能用數(shù)學的眼光、觀點去看待現(xiàn)實生活中的許多問題，又會涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學本身的知識與方法的處理 四、教學策略選擇與設計 1.采用探究法，按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發(fā)式教學；?

2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用；?

3.設計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣。?? 五、教學重點及難點 教學重點：1.構建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題。?

2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；?

教學難點：1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；?

2.基本不等式應用時等號成立條件的考查；?

六、教學過程 教師活動 學生活動 設計意圖 (一)導入新課

(二)推進新課

已知 ，若ab為常數(shù)k，那么a+b的值如何變化？

若a+b為常數(shù)s，那么ab的值如何變化？

老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問題

(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?

(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?

(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0

(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0

(5)設a>0，b>0，且a2+ =1，求 的最大值。?

(三)合作探究 我們來考慮運用正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關系來解答這些問題。根據(jù)函數(shù)最值的含義，我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù)，則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r，這個常數(shù)即為另一端的一個最值。 ?

(四)例題精析？

【例】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4 800 m3，深為 3 m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？

當且僅當a=b時，a+b就有最小值為2k.?

當且僅當a=b時，ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?

學生完成

留五分鐘的時間讓學生思考，合作交流

(根據(jù)學生完成的典型情況，找五位學生到黑板板演，然后老師根據(jù)學生到黑板板演的完成情況再一次作點評)?

學生思考、回答，

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