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教材分析:
教科書以物體受力做功為背景,引出向量數(shù)量積的概念,功是一個標量,它用力和位移兩個向量來定義,反應在數(shù)學上就是向量的數(shù)量積。
向量的數(shù)量積是過去學習中沒有遇到過的一種新的乘法,與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教科書通過“探究”,要求學生自己利用向量的數(shù)量積定義推導有關結論。這些結論可以看成是定義的直接推論。
教材例一是對數(shù)量積含義的直接應用。
學情分析:
前面已經學習了向量的概念及向量的線性運算,這里引入一種新的向量運算——向量的數(shù)量積,教科書以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念,既使向量數(shù)量積運算與學生已有知識建立了聯(lián)系,又使學生看到數(shù)量積與向量模的大小有及夾角有關,同時與前面的向量運算不同,其計算結果不是向量而是數(shù)量。
三維目標:
(一)知識與技能
1、學生通過物理中“功”等實例,認識理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義,體會平面向量數(shù)量積與向量投影的關系。
2、學生通過平面向量數(shù)量積的3個重要性質的探究,體會類比與歸納、對比與辨析等數(shù)學方法,正確熟練的應用平面向量數(shù)量積的定義、性質進行運算。
(二)過程與方法
1、學生經歷由實例到抽象到抽象的的數(shù)學定義的形成過程,性質的發(fā)現(xiàn)過程,進一步感悟數(shù)學的本質。
(三)情感態(tài)度價值觀
1、學生通過本課學習體會特殊到一般,一般到特殊的數(shù)學研究思想。
2、通過問題的解決,培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的實際操作能力;培養(yǎng)學生的交流意識、合作精神;培養(yǎng)學生敘述表達自己解題思路和探索問題的能力.
四、教學重難點:
1、重點:平面向量數(shù)量積的概念、性質的發(fā)現(xiàn)論證;
2、難點:平面向量數(shù)量積、向量投影的理解;
五、教具準備:多媒體、三角板
六、課時安排:1課時
七、教學過程:
(一)創(chuàng)設問題情景,引出新課
問題:請同學們回顧一下,我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?
新課引入:本節(jié)課我們來研究學習向量的另外一種運算:平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
新課:
1、探究一:數(shù)量積的概念
展示物理背景:視頻“力士拉車”,從視頻中抽象出下面的物理模型
背景的第一次分析:
問題:真正使汽車前進的力是什么?它的大小是多少?
答:實際上是力 在位移方向上的分力,即 ,在數(shù)學中我們給它一個名字叫投影。
“投影”的概念:作圖
定義:| |cos(叫做向量 在 方向上的投影.投影也是一個數(shù)量,不是向量;
2、背景的第二次分析:
問題:你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?
分析: 用文字語言表示即:力對物體所做的功,等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積;功是一個標量,它由力和位移兩個向量來確定。這給我們一種啟示,能否把“功”看成是這兩個向量的一種運算結果呢?
平面向量數(shù)量積(內積)的定義:已知兩個非零向量 與 ,它們的夾角是θ,則數(shù)量|
1、三角形中的特殊位置(四心)所滿足的向量方程: (1)重心滿足的向量方程: ; (2)內心滿足的向量方程: 或 ; (3)外心滿足的向量方程: ; (4)垂心滿足的向量方程: ;(斜三角形中) 2、已知 是 所在平面上的一點,若 ,則 是 的垂心。 3、若 為 的外心,若 為 的重心,若h為 的垂心,則o,g,h三點共線,且 , ,若o為坐標原點,則重心和外心的坐標分別為: , 。 4、已知 是 所在平面上的一點,若 ,則 是 的外心。 5、點 為三角形 的重心的充要條件是對平面上的任意一點 , 。 6、 為 方向上與 同向的單位向量。 7、設 、 是直線 上兩點,點 是 上不同于 、 的任意一點,且 ,則 。 特別地,當 時, (向量的中點公式)。 8、若 、 、 三點不共線,已知 ,則 、 、 三點共線的充要條件是 。 9、若 、 不共線,且 ,則必有 。 10、向量平移后與原向量相等,即向量平移后坐標是不變的。 11、若直線 的方向向量為 ,則直線 的斜率與該向量的關系為 。 12、若 、 、 分別為 、 、 的中點,則 。 13、若向量 、 、 滿足條件 ,且 ,則 為正三角形。 14、若 為 的重心,且 ,則 為正三角形。 15、三角形中一些特殊直線的向量表示: (1) 是 的中線 ; (2) 是 的高線 ; (3) 是 的內角平分線 ; (4) 是 的外角平分線 。 16、兩向量的夾角為銳角不是兩向量數(shù)量積為正的充要條件,因為要排除夾角為0的情形; 兩向量的夾角為鈍角也不是兩向量數(shù)量積為負的充要條件,因為要排除夾角為 的情形。 17、設 是 與 的夾角,則 稱作為 在 方向上的投影。 。夾角 18、在平行四邊形 中,若 則平行四邊形 是菱形; 在平行四邊形 中,若 ,則平行四邊形 是矩形; 在平行四邊形 中, (變形即中線定理)。
教材分析:
前面已學習了向量的概念及向量的線性運算,這里引入一種新的向量運算——向量的數(shù)量積。教科書以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念,既使向量數(shù)量積運算與學生已有知識建立了聯(lián)系,又使學生看到向量數(shù)量積與向量模的大小及夾角有關,同時與前面的向量運算不同,其計算結果不是向量而是數(shù)量。
在定義了數(shù)量積的概念后,進一步探究了兩個向量夾角對數(shù)量積符號的影響;然后由投影的概念得出了數(shù)量積的幾何意義;并由數(shù)量積的定義推導出一些數(shù)量積的重要性質;最后“探究”研究了運算律。
教學目標:
(一)知識與技能
掌握數(shù)量積的定義、重要性質及運算律;
能應用數(shù)量積的重要性質及運算律解決問題;
了解用平面向量數(shù)量積可以解決長度、角度、垂直共線等問題,為下節(jié)課靈活運用平面向量數(shù)量積解決問題打好基礎。
(二)過程與方法
以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念,從數(shù)與形兩方面引導學生對向量數(shù)量積定義進行探究,通過例題分析,使學生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別。
(三)情感、態(tài)度與價值觀
創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境,從物理學中“功”這個概念引入課題,開始就激發(fā)學生的學習興趣,讓學生容易切入課題,培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識,加強數(shù)學與其它學科及生活實踐的聯(lián)系。
教學重點:
平面向量的數(shù)量積的定義;
用平面向量的數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角。
教學難點:
平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用。
教學方法:
啟發(fā)引導式
教學過程:
(一)提出問題,引入新課
前面我們學習了平面向量的線性運算,包括向量的加法、減法、以及數(shù)乘運算,它們的運算結果都是向量,既然兩個向量可以進行加法、減法運算,我們自然會提出:兩個向量是否能進行“乘法”運算呢?如果能,運算結果又是什么呢?
這讓我們聯(lián)想到物理中“功”的概念,即如果一個物體在力F的作用下產生位移s,F(xiàn)與s的夾角是θ,那么力F所做的功如何計算呢?
我們知道:W=|F
【教學目標】
1.了解平面向量基本定理;
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示,初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法;
3.能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表達.
【導入新課】
復習引入:
1.實數(shù)與向量的積
實數(shù)λ與向量的積是一個向量,記作:λ.
(1)|λ|=|λ|||;
(2)λ>0時,λ與方向相同;λ
2.運算定律
結合律:λ(μ)=(λμ);分配律:(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ.
3.向量共線定理
向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個非零實數(shù)λ,使=λ.
新授課階段
一、平面向量基本定理:如果,是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2.
探究:
(e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底;
(2)基底不惟一,關鍵是不共線;
(e2的條件下進行分解;
(4)基底給定時,分解形式惟一. λ1,λ2是被,,唯一確定的數(shù)量.
1、貫徹了學生主體、教師主導的原則
“學案導學”要求學生主動試一試,并給予學生充分自由思考的時間。學生在嘗試中遇到問題就會主動地去自學課本和接受教師的指導。這樣,學習就變成了學生自身的需要,使他們產生了“我要學”的愿望,在這種動機支配下學生就會依靠自己的力量積極主動地去學習。
教師通過啟發(fā)、激勵,誘導學生全員、全過程參與教學過程,體現(xiàn)教師的主導作用。
2、培養(yǎng)了自主探索,合作交流的能力
新的課程理念,要求學生的學習不僅僅是在理解基礎上掌握和記憶知識,還要學習探索和解決問題的方法和途徑。
本節(jié)課采用誘導式教學方法,通過問題激發(fā)學生求知欲,使學生主動參與數(shù)學實踐活動,以獨立思考和相互交流的形式,在教師的指導下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題,掌握數(shù)學知識、形成數(shù)學能力,培養(yǎng)探索精神和團隊意識。
我相信,通過本節(jié)課的學習,學生獲取的將不僅僅是知識,獲取知識的手段、途徑和方法,以及勇于探索、合作交流的能力,才是他們最大的收獲。
以上是我對本節(jié)課的設計和說明,不足之處,敬請各位專家批評指正。
教學目的:
1 掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律;
2 能利用數(shù)量積的5個重要性質及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題;
3 掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷,會證明兩向量垂直,以及能解決一些簡單問題
內容分析:
啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上,逐步把握數(shù)量積的運算律,引導學生注意數(shù)量積性質的相關問題的特點,以熟練地應用數(shù)量積的性質
教學過程:
已知非零向量 與 ,作 = , = ,則∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 與 的夾角
2.平面向量數(shù)量積(內積)的定義:已知兩個非零向量 與 ,它們的夾角是θ,則數(shù)量| || |cos?叫 與 的數(shù)量積,記作 ? ,即有 ? = | || |cos?,
投影也是一個數(shù)量,不是向量;當?為銳角時投影為正值;當?為鈍角時投影為負值;當?為直角時投影為0;當? = 0?時投影為 | |;當? = 180?時投影為 ?| |
4.向量的數(shù)量積的幾何意義:
5.兩個向量的數(shù)量積的性質:
3?當 與 同向時, ? = | || |;當 與 反向時, ? = ?| || |
4?cos? = ;5?| ? | ≤ | || |
6.判斷下列各題正確與否:
7?對任意向量 、 、 ,有( ? )? ? ?( ? ) ( × )
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