高等數(shù)學(xué)課件系列七篇

每個(gè)老師都需要在課前準(zhǔn)備好自己的教案課件，本學(xué)期又到了寫教案課件的時(shí)候了。?教師應(yīng)該在教案課件中充分展示，讓學(xué)生理解和掌握知識。我在教育網(wǎng)上找到一篇關(guān)于“高等數(shù)學(xué)課件”的文章內(nèi)容很詳盡，希望這些知識能夠?qū)δ阌兴鶐椭?/p>

高等數(shù)學(xué)課件 篇1

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種，通常包括微積分、線性代數(shù)等內(nèi)容。它為學(xué)生提供了更深入的數(shù)學(xué)知識，為他們在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究和專業(yè)發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。以下是關(guān)于高等數(shù)學(xué)的主題范文。

一、微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，其應(yīng)用范圍非常廣泛。通過學(xué)習(xí)微積分，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)對于自然科學(xué)和工程科學(xué)的重要性，以及數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。此外，微積分也是理解人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)要素之一，如牛頓與萊布尼茨的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。隨著時(shí)代的變化和數(shù)學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)代微積分也經(jīng)歷了很多新的變化和應(yīng)用，如微分方程和復(fù)變函數(shù)。

二、線性代數(shù)是另一個(gè)重要的高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它將數(shù)學(xué)的概念與實(shí)際的科學(xué)和工程應(yīng)用結(jié)合起來。學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，他們將會掌握矩陣的基本概念，矩陣方程，向量空間，線性變換，歐幾里得空間等重要概念。線性代數(shù)也是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛的領(lǐng)域，因?yàn)樗鼘τ谔幚泶罅繌?fù)雜和抽象的數(shù)據(jù)有著重要的方法和工具。

三、高等數(shù)學(xué)的Calculus（微積分）和Linear Algebra（線性代數(shù)）是現(xiàn)代科學(xué)和工程的基礎(chǔ)。這些數(shù)學(xué)思想和方法的理解和掌握將使得學(xué)生們在科學(xué)領(lǐng)域中更加成功。學(xué)生不僅要掌握計(jì)算技能，更重要的是理解概念和理論的物理和幾何意義。在應(yīng)用和計(jì)算方面，學(xué)生還需要熟練掌握數(shù)學(xué)軟件和工具，如MATLAB, Maple等。

四、高等數(shù)學(xué)教育是大學(xué)教育中最重要的組成部分之一，它不僅為自然科學(xué)和工程學(xué)科的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，而且也為其他領(lǐng)域的理論和應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的工具。高等數(shù)學(xué)不僅為理解和探究自然界和人類文化提供了基礎(chǔ)，而且還為學(xué)生的個(gè)人發(fā)展和成就提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。因此，高等數(shù)學(xué)教育的重要性在當(dāng)今社會中變得越來越明顯，我們應(yīng)該重視數(shù)學(xué)教育，并為學(xué)生提供更好的數(shù)學(xué)教育資源和機(jī)會。

五、高等數(shù)學(xué)教育應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生們對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。要實(shí)現(xiàn)這一目的，教育者應(yīng)該采用更多的探究式學(xué)習(xí)方法和應(yīng)用例子來讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的重要性。同時(shí)，教育者應(yīng)該鼓勵學(xué)生們利用數(shù)學(xué)知識，為社會做出更大的貢獻(xiàn)。

總而言之，高等數(shù)學(xué)教育是大學(xué)教育的重要組成部分。學(xué)生通過學(xué)習(xí)微積分和線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識，將會掌握更深入的數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用，從而對自然科學(xué)和工程學(xué)科的發(fā)展做出更大的貢獻(xiàn)。教育者應(yīng)該注重學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，同時(shí)鼓勵學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識為社會創(chuàng)造更大的價(jià)值。

高等數(shù)學(xué)課件 篇2

高等數(shù)學(xué)課件是一種重要的教學(xué)資源，能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)能力。在現(xiàn)代教育中，教育技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，使得教師能夠使用多種形式的教學(xué)資源，包括課件等。因此，高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用已經(jīng)成為了現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題。

高等數(shù)學(xué)課件的編寫需要考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和教學(xué)目標(biāo)。在編寫課件時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容、學(xué)生的知識水平、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，以達(dá)到最好的教學(xué)效果。由于高等數(shù)學(xué)的知識層次較為復(fù)雜，因此編寫高等數(shù)學(xué)課件時(shí)需要充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知模式和學(xué)習(xí)習(xí)慣，力求讓學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

高等數(shù)學(xué)課件應(yīng)具備以下幾個(gè)方面的要求：

一、準(zhǔn)確性。高等數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)確性是基本要求，因?yàn)槿魏我粋€(gè)錯誤的公式或概念，都會對學(xué)生成長和知識的累積產(chǎn)生負(fù)面影響。因此在編寫和使用高等數(shù)學(xué)課件時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格控制內(nèi)容的準(zhǔn)確性，確保學(xué)生能夠掌握正確的知識和技能。

二、清晰性。高等數(shù)學(xué)是一門較為抽象的學(xué)科，對于學(xué)生來說，掌握數(shù)學(xué)知識本身就需要花費(fèi)較大的認(rèn)知代價(jià)。因此，在編寫和使用高等數(shù)學(xué)課件時(shí)，應(yīng)力求將知識的概念和原理表達(dá)得盡可能清晰和易懂，避免出現(xiàn)模糊或難以理解的語言和表達(dá)方式。

三、實(shí)用性。高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用應(yīng)力求貼近實(shí)際問題和應(yīng)用情境，幫助學(xué)生理解知識的實(shí)際應(yīng)用場景和方法，培養(yǎng)學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力。

四、適用性。高等數(shù)學(xué)課件的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)考慮到不同年級、不同層次、不同專業(yè)學(xué)生的不同需求，盡可能做到適用性的設(shè)計(jì)，以便保持高效和靈活性。

在高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用中，應(yīng)盡可能滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和教學(xué)目標(biāo)，強(qiáng)化課程知識的建設(shè)和教學(xué)策略的完善，以提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量和水平。同時(shí)，高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用應(yīng)在保持教學(xué)質(zhì)量和效果的同時(shí)，適應(yīng)教育技術(shù)的不斷創(chuàng)新和進(jìn)步，推動教學(xué)模式和教學(xué)流程的優(yōu)化和升華。

高等數(shù)學(xué)課件 篇3

高等數(shù)學(xué)課件

高等數(shù)學(xué)課程對于大多數(shù)理工科學(xué)生來說，是必修課程中的一門重要課程。這門課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容極其豐富，包括了微積分、線性代數(shù)、常微分方程等方面的知識。為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程，課件是一個(gè)非常有效的學(xué)習(xí)工具。

一、高等數(shù)學(xué)課程概述

高等數(shù)學(xué)課程是大多數(shù)理科學(xué)生必修的一門學(xué)科，主要包括微積分、線性代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)分析等內(nèi)容，是研究各種現(xiàn)代科學(xué)問題所必需的一種重要工具。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力、提高科學(xué)研究能力、提高綜合素質(zhì)都具有重要的作用。

二、高等數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)

針對高等數(shù)學(xué)課程的課件設(shè)計(jì)，應(yīng)該根據(jù)課程大綱進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其能夠幫助學(xué)生更好地掌握重點(diǎn)難點(diǎn)知識，同時(shí)使學(xué)生能夠通過課件進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。以下是高等數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)的幾個(gè)方面：

1.內(nèi)容分析：對于高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容進(jìn)行分析，并提取重點(diǎn)難點(diǎn)知識點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供有針對性的指導(dǎo)。

2.教學(xué)方法：針對不同的知識點(diǎn)，采用不同的教學(xué)方法，如實(shí)例分析、問題導(dǎo)向、知識鏈接等。

3.學(xué)習(xí)工具：為學(xué)生提供學(xué)習(xí)工具，如習(xí)題集、在線視頻、強(qiáng)化訓(xùn)練等，使學(xué)生能夠更好地進(jìn)行練習(xí)、鞏固知識點(diǎn)。

4.互動方式：采用互動方式，使學(xué)生與教師之間、學(xué)生與學(xué)生之間能夠進(jìn)行有效溝通，交流經(jīng)驗(yàn)，靈活開展學(xué)習(xí)。

三、高等數(shù)學(xué)課件的優(yōu)點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)課件的優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1. 圖像直觀：高等數(shù)學(xué)中的許多數(shù)學(xué)模型，通過課件能夠通過圖表等形式進(jìn)行展現(xiàn)，使學(xué)生能夠直觀地理解相關(guān)內(nèi)容，加深對概念的理解。

2. 動態(tài)演示：高等數(shù)學(xué)涉及到的許多計(jì)算過程和公式，通過課件進(jìn)行動態(tài)演示，使學(xué)生能夠更加深入理解相關(guān)內(nèi)容。

3. 學(xué)習(xí)效率高：通過課件，學(xué)生能夠自主選擇學(xué)習(xí)時(shí)間和地點(diǎn)，以及自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，靈活性較大，學(xué)習(xí)效率能夠得到極大提高。

4. 綜合性強(qiáng)：高等數(shù)學(xué)課件能夠?qū)⒉煌鹿?jié)的內(nèi)容連接在一起，形成一個(gè)完整的知識體系，使學(xué)生能夠更好地進(jìn)行全面學(xué)習(xí)。

高等數(shù)學(xué)課件的設(shè)計(jì)和應(yīng)用對于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、知識掌握和綜合能力的提升都具有重要意義。針對高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)和學(xué)生的需求，需要有相應(yīng)的課件設(shè)計(jì)方案，能夠滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和課程質(zhì)量。

高等數(shù)學(xué)課件 篇4

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，包含微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等模塊。學(xué)生們通過上這門課，能夠系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論、方法和技能，為未來的學(xué)術(shù)研究和職場實(shí)踐打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

一、微積分模塊

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，由導(dǎo)數(shù)、微分、積分三部分組成。學(xué)生們需要掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值、凹凸性等概念，了解微分的意義、性質(zhì)和應(yīng)用，學(xué)會積分方法和應(yīng)用。除此之外，微積分還與其他學(xué)科緊密相關(guān)，在物理、工程、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。

二、線性代數(shù)模塊

線性代數(shù)是研究向量空間、線性變換、矩陣、行列式等數(shù)學(xué)對象的學(xué)科。它在數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，如圖像處理、信號處理、電路設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們需要理解向量空間的含義和性質(zhì)，了解線性變換和矩陣的運(yùn)算規(guī)律，掌握行列式計(jì)算和線性方程組的求解等基礎(chǔ)知識和技能。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模塊

概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律和統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科。概率論研究事件的可能性和發(fā)生規(guī)律，數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究數(shù)據(jù)的收集、整理和分析。這兩個(gè)學(xué)科廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、工程等領(lǐng)域。學(xué)生們需要理解基本概率概念和概率公式，掌握概率分布和隨機(jī)變量的性質(zhì)，以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法和應(yīng)用。

四、高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法和教材

高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法和教材的選擇對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和興趣培養(yǎng)都有重要影響。一般來說，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)該以理論與實(shí)踐相結(jié)合為原則，加強(qiáng)計(jì)算和分析能力的訓(xùn)練，增加實(shí)例和案例的引入，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣。教材要選擇權(quán)威、系統(tǒng)、具有實(shí)用價(jià)值和啟迪性的作品，如《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)及其應(yīng)用》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》等。

總之，高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要內(nèi)容，學(xué)生們需要全面學(xué)習(xí)微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和方法，為將來的學(xué)術(shù)研究和職場實(shí)踐打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

高等數(shù)學(xué)課件 篇5

高等數(shù)學(xué)教案

課程的性質(zhì)與任務(wù)

高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個(gè)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，也是該專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運(yùn)算；同時(shí)要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的意識、興趣和能力。

第一章：函數(shù)與極限

教學(xué)目的與要求

18學(xué)時(shí)

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價(jià)無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集?？占?： ??A2、集合的運(yùn)算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B

全集I、E

補(bǔ)集AC：

集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

對偶律

(A?B)?A?B

(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間

(a,b)閉區(qū)間

?a,b? 半開半閉區(qū)間

?a,b?有限、無限區(qū)間 cccccc?a,b?

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

?

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射 1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對X中的每一個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應(yīng)法則f

2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x)x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符號函數(shù)

?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線）

?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??

2、函數(shù)的幾種特性

?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對稱)

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對稱

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域?yàn)镈1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運(yùn)算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)

5、初等函數(shù)：

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的

1)冪函數(shù)：y?xa

2)指數(shù)函數(shù)：y?ax

3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

()

y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx

5)反三角函數(shù)

y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

e?e2x?xy?arccot(x)

shx?

chx?xx?x?xe?e2x?x

thx?shxchx?e?ee?e

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx

作業(yè)： 同步練習(xí)冊練習(xí)一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號。

2）序列中有無限多個(gè)成員。一般寫成：a1縮寫為?un?

例 1 數(shù)列??是這樣一個(gè)數(shù)列?xn?，其中

?n??1?a2a3a4??an??

xn?也可寫為：

1121n，n?1,2,3,4,5???

131415????

1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：

???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成

limxn?a

n??也可等價(jià)表述：

1）???0

2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??

xn?O(a?)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界

定理3：如果limxn?a且a>0(a0，當(dāng)n>N時(shí)，xn?0x??(xn?0)

定理

4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在x0點(diǎn)的極限

1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個(gè)??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x)有一個(gè)總趨勢-----以某個(gè)實(shí)數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。

x?x0形式定義為：

???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系

2、x??的極限

設(shè)：y?f(x)x?(??,??)如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值 有一個(gè)總趨勢------該曲線有一條水平漸近

f(x)?A??

線y?A-----則稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)?有極限。記為：limf(x)?A

x??

在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)?的左右極限：

f(??)?lim關(guān)系為： x???f(x)

f(??)?limf(x)

x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)

x??x???x???

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號性

4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個(gè)數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：

1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0

x???的意義；

2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)?，存在一個(gè)號碼N，使在這個(gè)號碼以后的所有的號碼n，相應(yīng)的xn與極限0的距離比這個(gè)給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識。

定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。

二、無窮大定義

一個(gè)數(shù)列?xn?，如果成立：

?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。

x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???

x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負(fù)無窮大，記成limxn??? x??注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關(guān)系

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1f(x)為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則

1f(x)為無窮大

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)xn?0時(shí)：有

lim?0?limx??1xnx????

lim???limx??1xnx???0

注意是在自變量的同一個(gè)變化過程中

第五節(jié)：極限運(yùn)算法則

1、無窮小的性質(zhì)

設(shè)?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個(gè)無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無窮小量：

limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個(gè)無窮小量的積是一個(gè)無窮小量。

limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（4）?xn?也是無窮小量：

x?x0limxn?0?limxn?0

x?x0（5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。

2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算

1、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0

2、函數(shù)f在點(diǎn)x0有極限，則對任何常數(shù)a成立

lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)

3、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，并且limg(x)???0，則

x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????

lim?

x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限 例：求下述極限

lim

x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322

4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

定理6 設(shè)函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復(fù)合而成，f[g(x)]在點(diǎn)x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當(dāng)x?u(x0,?0)時(shí)，有

g(x)?u0，則

x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限

定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個(gè)號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：

x??x??limyn?a

x??

定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。

例：證明：limx?0sinxx?1

例：

limx?0

例：證明：lim(1?x??tanxx

limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1?)x的極限

x??x1x

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：若?,?為無窮小

limlim????????0???c?0?c?0?1且

limlimlim

?K??高階、低階、同階、k階、等價(jià)?～?

1、若?,?為等價(jià)無窮小，則?????(?)

2、若?～?1、?～?1且

lim??11??11存在，則： lim???lim

例：

limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性

函數(shù)f在點(diǎn)x0連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：

f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點(diǎn)x0有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。

limf(x)?f(x0)

其形式定義如下：

x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??

函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時(shí)裝意端點(diǎn)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點(diǎn)

若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點(diǎn)：

f(x0?0)?f(x0?0)

即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。、第二類間斷點(diǎn)x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個(gè)不存在

例：見教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算

1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)

x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)

3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)

x?Df是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。

注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。

?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成

y?f?1(x)x?Df?1

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件?g?Df，若函數(shù)g在點(diǎn)x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點(diǎn)u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f?g在點(diǎn)x0連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：

x?x0limf(g(x))?f(limg(x))

x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大、最小值

設(shè)函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問在值域

D1??yy?f(x),x?D?

中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。

x?D

類似地，如果 Df中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min

二、有界性

x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。

有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。

三、零點(diǎn)、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個(gè)點(diǎn)?和?，使得

f(?)?f(x)?f(?),亦即

x??a,b?

f(?)?min x??a,b??f(x)?

f(?)?max?f(x)?

x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點(diǎn)

零點(diǎn)定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個(gè)端點(diǎn)異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個(gè)零點(diǎn)??(a,b)，使f(?)?0

中值定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個(gè)中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。

高等數(shù)學(xué)課件 篇6

§8? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因?yàn)閦?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因?yàn)閡??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當(dāng)t取得增量?t時(shí)? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)

?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導(dǎo)數(shù)為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導(dǎo)數(shù)?

dt

2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(diǎn)(x? y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z??z??u??z??v??z??w

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？

?y?x

提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z

(2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？

?y?x?f?f?f?f

提示? ?z??u?? ?z??u??

?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x?x?f?f?z偏導(dǎo)數(shù)? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導(dǎo)數(shù)? 與也朋類似

?y?y?x的區(qū)別?

3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(diǎn)(x? y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z?dv

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

?z

例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和?

?x?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u?

?y?x

?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f

?u????z

?y?y?z?y

?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny?

例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù)dz?

dt

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 求及? ?x?z?x

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等?

引入記號? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf?

2?

?x?u?x?v?x12?f??f?

?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式?

注?

2?2u?

?(1)(?u)2?(?u)2?

(2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得

???u???ux?uy?u??uysin??co?s???

?u??u?

?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin?????

?u??u?

????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得

2??(?u)?????(?u)??? ?

u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin

?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2??

?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得

22222?u?u?u11?u1??u?

2?2?2???22?2[?(?)?u]?

??????2?x?y???????

全微分形式不變性?

設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x? y)在點(diǎn)P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(diǎn)(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

Fdy??x?

?dxFy

求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

dy等式兩邊對x求導(dǎo)得 ?F??F??0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個(gè)鄰域? 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得 Fdy??x?

dxFy

例1 驗(yàn)證方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值?

解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1?

dx2y2y2y3ydx2x?0

2隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個(gè)二元方程F(x? y)?0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)? 一個(gè)三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點(diǎn)P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(diǎn)(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ?

?y?x因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(diǎn)(x0? y0? z0)的一個(gè)鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz?2z

例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 求2?

?x

解

設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個(gè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u?yx?

v??

x2?y2x2?y2y 事實(shí)上?

xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ?

yyx?yyv?x?22?2x2?

yx?yx?y

如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？

隱函數(shù)存在定理設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列

?F?(F,G)?u式：

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G)

?u??1??xv?

?v??1??ux?

?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)????

?u??1?

?v??1?

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?y?x?x?y 解 兩個(gè)方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u??22? ?v?22?

?xx?y?xx?y

兩個(gè)方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u?22? ?v??22?

?yx?y?yx?y

另解 將兩個(gè)方程的兩邊微分得

?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx

?? 即??

udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy?

x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy?

x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(diǎn)(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?

又

?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)

(1)證明方程組

?

y?y(u,v)?在點(diǎn)(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導(dǎo)數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設(shè)

J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

?x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

J?u?xJ?v?x

同理? 可得

?u??1?x?v?1?x

? ?

?yJ?v?yJ?u

§8? 6

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

一?

空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)?

在曲線?上取對應(yīng)于t?t0的一點(diǎn)M0(x0? y0? z0)及對應(yīng)于t?t0??t的鄰近一點(diǎn)M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當(dāng)點(diǎn)M沿著?趨于點(diǎn)M0時(shí)割線MM0的極限位置就是曲線在點(diǎn)M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0

? ???x?y?z?t?t?t當(dāng)M?M0? 即?t?0時(shí)? 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點(diǎn)M0處的一個(gè)切向量?

法平面? 通過點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點(diǎn)M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(diǎn)(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因?yàn)閤t??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(diǎn)(1? 1? 1)所對應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

x?1?y?1?z? ?

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(diǎn)(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

x?1?y?2?z?1

?

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

在點(diǎn)(1? ?2? 1)處?

二? 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點(diǎn)?

并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零? 在曲面?上? 通過點(diǎn)M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對應(yīng)于點(diǎn)M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點(diǎn)的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因?yàn)榍€?是曲面?上通過點(diǎn)M0的任意一條曲線? 它們在點(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個(gè)平面上? 這個(gè)平面稱為曲面?在點(diǎn)M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點(diǎn)M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(diǎn)(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

y?2z?3?法線方程為x?1??

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時(shí)F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

x?2?y?1?z?4法線方程為 ?

42?1§8? 7

方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題?

設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點(diǎn)的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點(diǎn)? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當(dāng)P沿著l趨于P0(即t?t0?)時(shí)的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

t

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向?qū)?shù)的計(jì)算?

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin??

tt?0?這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和負(fù)向?

沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 提示?

?f?f??

沿x軸正向時(shí)? cos???? cos??0?

?l?x?f?f 沿x軸負(fù)向時(shí)? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x2y

例1 求函數(shù)z?xe在點(diǎn)P(1? 0)沿從點(diǎn)P(1? 0)到點(diǎn)Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(1, ?1)?

22? 因?yàn)楹瘮?shù)可微分? 且?z?x所以所求方向?qū)?shù)為

(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??

?z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)?

t

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(diǎn)(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因?yàn)楹瘮?shù)可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)?

2222(1,1,2)

二? 梯度

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點(diǎn)P0(x0? y0)?D? 都可確定一個(gè)向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

如果函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當(dāng)向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時(shí)? 方向?qū)?shù)

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個(gè)最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量? 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

?f

討論? 的最大值?

??l

結(jié)論? 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個(gè)曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點(diǎn)? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時(shí)為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點(diǎn)P0(x0? y0)處的一個(gè)單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 而沿這個(gè)方?f向的方向?qū)?shù)就等于|grad f(x0? y0)|? 于是

?n?f

grafd(x0,y0)?n?

?n

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個(gè)向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進(jìn)曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點(diǎn)P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)?

1?

x2?y2 解 這里f(x,y)?212?

x?y 例3 求grad

因?yàn)? ?f?f2y??22x22? ??222?

?x?y(x?y)(x?y)2y所以

gra d212??22x22i?222j?

x?y(x?y)(x?y)

例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數(shù)量場與向量場? 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M? 都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)? 一個(gè)數(shù)量場可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定? 如果與點(diǎn)M相對應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(例如力場、速度場等)? 一個(gè)向量場可用一個(gè)?向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)?

利用場的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場——梯度場? 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場的勢? 而這個(gè)向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個(gè)向量場不一定是勢場? 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場??

例5 試求數(shù)量場m所產(chǎn)生的梯度場? 其中常數(shù)m>0?

rr?x2?y2?z2為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(x? y? z)間的距離? ?r??mx?

解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理

?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而

gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me?

rrrrr2r

上式右端在力學(xué)上可解釋為? 位于原點(diǎn)O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點(diǎn)對位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)? 因此數(shù)量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數(shù)m稱為引力勢?

r

r§8?8

多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(diǎn)(0? 0)處有極小值?

?

當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值?

?

當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(diǎn)(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)? 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(diǎn)(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有不等式

f(x? y)特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點(diǎn)? 也應(yīng)有不等式f(x? y0)這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有fx(x0? y0)?0?類似地可證fy(x0? y0)?0?從幾何上看? 這時(shí)如果曲面z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z?z0?類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點(diǎn)?從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)? 但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)??例如? 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值??定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?(1)AC?B2>0時(shí)具有極值? 且當(dāng)A0時(shí)有極小值?(2)AC?B20? 則函數(shù)具有極值? 且當(dāng)fxx0時(shí)有極小值?極值的求法?第一步 解方程組fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?求得一切實(shí)數(shù)解? 即可得一切駐點(diǎn)?第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0? y0)? 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C?第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值??fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點(diǎn)為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?再求出二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?在點(diǎn)(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?在點(diǎn)(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)0? 又A0? y>0}內(nèi)取得? 因?yàn)楹瘮?shù)A在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 所以 此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)? 即當(dāng)水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 水箱所用的材料最省??2?2? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 所用材料最省? ?2?從這個(gè)例子還可看出?在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?解 設(shè)折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標(biāo)函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x? ?)?令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為?12?2x?xcos??0??2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2??這個(gè)問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個(gè)條件極值問題?對于有些實(shí)際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題??例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得2(x?y)2V?xy(a?2xy)?2(x?y)只需求V的無條件極值問題?在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有?(x0? y0)?0?假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標(biāo)函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]?于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點(diǎn)? 由取得極值的必要條件? 有dy?0?dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0??y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時(shí)成立??y(x0,y0)fy(x0,y0)設(shè)???? 上述必要條件變?yōu)?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0????(x0,y0)?0拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點(diǎn)? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?其中?為某一常數(shù)?然后解方程組?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0????(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點(diǎn)?這種方法可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形?至于如何確定所求的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)? 在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?解 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件2(xy?yz?xz)?a2下求函數(shù)V?xyz的最大值?構(gòu)成輔助函數(shù)F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?解方程組?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0??z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?6這是唯一可能的極值點(diǎn)?因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得? 此時(shí)V?6a3?

高等數(shù)學(xué)課件 篇7

-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?

1-----高等數(shù)學(xué)教案-----

n2.變速直線運(yùn)動的路程: 設(shè)速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個(gè)小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[ti?1 , ti]上任取一點(diǎn)?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數(shù)學(xué)教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設(shè)y?f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個(gè)小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn?1 , xn]，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果

lim?f(?i)?xi

??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區(qū)間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

則稱此極限為f(x)?i點(diǎn)的取法，在[a , b]上的定積分，記為

f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即

b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上

-----高等數(shù)學(xué)教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：

①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則

b? af(x)dx?s

(S是曲邊梯

-----高等數(shù)學(xué)教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s

(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負(fù)，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規(guī)定:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

①當(dāng)a?b時(shí)，? af(x)dx?0.a?b

②當(dāng)時(shí)，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質(zhì)：

①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則

b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a

-----高等數(shù)學(xué)教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則

b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則

b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設(shè)m?f(x)?M，則

bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得

m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

b故在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得

b? af(x)dx?f(?)b?a即

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實(shí)數(shù)?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----，所以

12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即

? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習(xí)1.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式

1.積分上限的函數(shù)(變上限

-----高等數(shù)學(xué)教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱

x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數(shù).2.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，x則?(x)?? af(t)dt可導(dǎo)，且

xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導(dǎo)數(shù).解: F?(x)?xsinx.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2

x?limx???1?

2-----高等數(shù)學(xué)教案-----

?

3.?? ?(x)f(t)dt?

?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd

例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例

15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22

-----高等數(shù)學(xué)教案-----例6.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明:

x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.證: 當(dāng)x?(a , b)時(shí)，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x

f(x)?f(?)?(x?a)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而a???x，所以

f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以?(x)?F(x)?C.由于

?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得

C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即

?(b)?? af(x)dx

?F(b)?F(a)

?F(x).ba

-----高等數(shù)學(xué)教案-----證: 因

?1

1例7.? ?2dx?lnx?2

x?ln1?ln2 ??ln2.?1

例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx

221xx?(x?)0?(?x)22

?1.例9.設(shè)

?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數(shù)學(xué)教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達(dá)式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數(shù)學(xué)教案 6 ,-----

:

2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?

例10.求

x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達(dá)式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x

tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法

-----高等數(shù)學(xué)教案-----1.定積分的換元法:

b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續(xù)，?(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1

3-----高等數(shù)學(xué)教案-----例 例

?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12

?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

sin2tcostdt

2? 例

??2 ? cottdt

4?? ?2(csc2 ?t?1)dt

4?(?cott?t)?2?

4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx

??? ?5 02cosxdcosx

?(?16?6cosx)20

?16.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

4.例5.? 0x(2?x)dx

12421??? 0(2?x)d(2?x)2

25111

??[(2?x)]0

2531

?.102.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則

a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12

4-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0

??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所

以

a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx

?2? 0f(x)dx.a3.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且

a為奇函數(shù)，則

? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數(shù)，所以

xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數(shù)，1?x

-----高等數(shù)學(xué)教案-----以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122

312?[(arctanx)]0

332??()3496例8.設(shè)f(x)在[0 , a]上連續(xù)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:

??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ?f(sinx)dx?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx

? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0

??f(cost)dt

?2 0??f(cosx)dx.?2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----證: ? 0xf(sinx)dx

0 x???t ? ?(??t)f(sint)?

?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt

??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得

.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續(xù)函數(shù)，??xf(sinx)dx?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達(dá)式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)

??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得

x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得

?x ef(x)?1，x x 0?ux

-----高等數(shù)學(xué)教案-----即

f(x)?e.4.定積分的分部積分法:

x

? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b

例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx

5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx

x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數(shù).a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?

T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx

af(x)dx

x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以

? a a?T 0f(x)dx?

T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設(shè)f(x)在(?? , ??)上連續(xù)，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)

bh?0h a證: 設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則

b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設(shè)f(x)在[a , ??)上連續(xù)，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且

??t

? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.??

-----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)f(x)在(?? , b]上連續(xù)，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且

b

???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續(xù)，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且

b

-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發(fā)散.2.引入記號:

??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，??? af(x)dx?F(??)?F(a)

?[F(x)].??a

-----高等數(shù)學(xué)教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，b???f(x)dx?F(b)?F(??)

?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)與F(??)都存在時(shí)，?????f(x)dx?F(??)?F(??)

?[F(x)].????例1.判斷反常積分

???x? 0xedx

2-----高等數(shù)學(xué)教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11

?xlim(?e)? ???221 ?.2

例2.判斷反常積分

?1? ??cosxdx

22的斂散性.解: 原式?(sinx)

?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???

-----高等數(shù)學(xué)教案-----常積分? ??cosxdx發(fā)散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當(dāng)???1時(shí)發(fā)散.例4.判斷反常積分

? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

?1所以反常積分時(shí)收斂，當(dāng) 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0

????

22??.? 1 ??

例5.判斷反常積分

1dx

2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么稱點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).4.無界函數(shù)的反常積分(瑕積分): ①設(shè)f(x)在(a , b]上連續(xù)，點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.②設(shè)f(x)在[a , b)上連續(xù)，點(diǎn)b為f(x)的瑕點(diǎn)，t?b.如果

blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在[a , b]上除點(diǎn)c(a?c?b)外連續(xù)，點(diǎn)c為f(x)的 b

-----高等數(shù)學(xué)教案-----瑕點(diǎn).如果兩個(gè)反常積分

b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則

b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.5.引入記號: ①設(shè)F(x)為f(x)在(a , b]上的一個(gè)原函數(shù)，a為f(x)的瑕點(diǎn)，則

b? af(x)dx?F(b)?limF(x)

x?a??[F(x)].ba

-----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)F(x)為f(x)在[a , b)上的一個(gè)原函數(shù)，b為f(x)的瑕點(diǎn)，則

b? af(x)dx?limF(x)?F(a)

x?b??[F(x)].ba

例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x

x ?0?10??1.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx

?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1

??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當(dāng)??1x時(shí)收斂，當(dāng)??1時(shí)發(fā)散.11

例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx

xx 1

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

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